Множеств
теория — ветвь математики, изучающая точными средствами содержание одной из
важнейших категорий философии, логики и математики — категории бесконечного.
Основана Г. Каптором. Предметом М. т. являются свойства множеств
(совокупностей, классов, ансамблей), гл. обр. бесконечных. Фундаментальным
положением М. т. служит установление различных «порядков» бесконечности. Классическая
М. т. исходит из признания применимости к бесконечным множествам принципов
логики, бесспорных в области конечного. Однако развитие М. т. уже в конце 19
в. выявило трудности, в т. ч. парадоксы, связанные с применением законов
формальной логики, в частности закона исключенного третьего, к бесконечным
множествам. В полемике, возникшей в связи с этим, были поставлены важнейшие
гносеологические вопросы математического познания: о природе математических
понятий, их отношении к реальному миру, о конкретном содержании понятия
существования в математике и т. д. В ходе полемики появились такие течения в
философии и математике, как формализм, интуиционизм, логицизм. Особо следует
отметить конструктивное направление в советской математике. Методы М. т.
широко используются во всех областях совр. математики; они имеют принципиальное
значение для вопросов обоснования математики, в частности для совр. формы
аксиоматического метода (Аксиома). Логическими средствами все вопросы
обоснования математики сводятся к вопросам обоснования М. т. Однако при обосновании
самой М. т. возникают трудности, не преодоленные и в настоящее время.